AP预备微积分课程最新考纲详细解读

前段时间，Collage Board（美国大学理事会）针对 Precalculus（AP微积分预备课程）发布了2023-2024年最新的考纲，G8和G9的学生可以提前学习并参加考试。

Precalculus（微积分预备课程）是一门为学生准备微积分的课程，Calculus（微积分）是研究事物如何随时间变化的，因此，Precalculus（微积分预备课程）的目标是通过帮助学生将之前所学的代数和几何知识联系起来，使学生掌握更严谨的数学概念和技能。

下面我们针对最新考纲，做一个详细剖析和解读，希望能够帮助到未来学习和选课的同学们。

Precalculus（微积分预备课程）主要包含4个单元的内容，每个单元都是以某一种特定的函数形式为主线，学习各个函数的主要性质以及数据模拟的形式，这些基础函数内容为后期进入到Calculus（微积分）的学习有很大的帮助。

Unit1：Polynomial and rational functions

Unit 1 中以Polynomial and Rational Functions （多项式和有理方程）为研究对象，从我们最熟悉的Linear and Quadratic Functions （一次和二次函数）为例，求解函数零点，同时会引入到Complex（复数）的介绍和应用。

比如：会学习到Real root and non-real root（实数根与非实数根）的表示方法，从而拓展数的领域和概念。

对于没有零点的函数，则进一步引出Limit（极限）的概念，比如：当X趋近于某一个数时，函数值也会接近一个值，这就是极限的基本定义。

通常情况下，我们会利用图像的平移变换，去找出其asymptotic line（ 渐近线），从而决定函数值最终所能趋紧的一个数值。

Unit 2：Exponentialand logarithmic functions

在这一章节中，重点学习的函数模型是Exponential and logarithmic functions（指数函数和对数函数），以及两种函数的基本性质和运算规则等。

首先从Arithmetic and geometric sequences（等差和等比数列）引入，同时类比一次函数和指数函数的模型，帮助学生理解两种数列形式，从函数角度去学习两种数列，为之后Series（级数）做好铺垫。

在了解了Exponential functions（指数函数）的基础上，结合第一章中的Linear and quadratic functions（一次函数和二次函数），现在需要利用这些函数模型去解决实际问题，那么第一步就是要选取合适的函数模型，根据已知信息和实际线索去决定何种模型是最合适的。

紧接着会介绍两种函数类型：Composite functions and inverse functions （复合函数和反函数），需要注意的是，复合函数不是两个函数的乘积关系，且反函数与原函数的Domain and range（定义域和值域）是互换的关系。

学习了Composite functions and inverse functions（复合函数和反函数）之后，从而进一步理解Logarithm 是Exponential 的反函数这一关系和变化。

此外就是一些函数基本运算的性质和原则，需要同学们牢固掌握和熟练应用，都是之后微积分内容的基本功，同时还会学习如何利用对数函数和指数函数之间的转换去解等式与不等式。

Unit 3：Trigonometric and polar functions

第三单元学习的则是Trigonometric functions （三角函数），这也是之后微积分经常会应用和考察的一种函数类型。

从最基础的三角比值关系（Sine/ Cosine/Tangent），函数图像（Graphs），周期性（Periodic）以及特殊值等系统性的学习, 导致后反三角函数的介绍，还有其他三角函数关系的引入（Secant, Cosecant, Cotangent）

此外还拓展了相同三角函数不同角度的加减法公式。

这些基础知识以及基本运算法则，在后期学习微积分时，会经常作为重点考察，尤其是解决一些实际应用题时，选取三角函数作为研究模型，计算过程中通常会出现比较复杂的步骤，需要学生在Precalculus的阶段打好基础。

Unit 4：Functions involving parameters, vectors, and matrices

在前面的学习内容中介绍完了基本初等函数，最后一章会讲到Parameters, vectors and matrices（参数，向量，矩阵）等拓展内容，在微积分的实际应用中，遇到比较难的问题，有时需要借助其他函数模型去模拟。

首先Parametric functions（参数方程）通常是指除了X和Y之外，借助新的变量t去构造的函数形式，因为变量X和Y之间没有关系，只能通过新的变量t使得我们要研究的能够建立起一种函数模型，从而解决实际问题。

除了参数方程之外，我们还有一个好用的数学工具就是Vectors（向量），作为一个有direction and magnitude（方向和大小）的矢量，可以很好的结合代数和几何去解决问题，同时也能讲代数问题几何化，或者反之亦然。

Matrices （矩阵）作为Linear algebra（线性代数）的核心和基础，既兼顾了代数方程的特点，又遵循和体现了Vectors（向量）的运算法则，对于解决相对应的实际应用题时，也是一个高效的数学工具。

以上就是对于Precalculus考纲的一个整体分析，每个单元所能涉及的知识点以及常考的重难点都有提及。

Precalculus（微积分预备课程）涉及更多从大学代数拓展出来的概念，主要学习函数建模动态的现象，为大学学习微积分以及其他科学打好基础，在学习过程中，学生会学习广泛的基础函数类型，比如数学，物理，生物，健康科学、社会科学和数据科学等领域。

Calculus（微积分课程）具有一定难度，学生之前学习的Algebra（代数）内容不能很好的过度到微积分的学习，会有一定的learning gap，所以Precalculus（微积分预备课程）可以帮助学生先做一个铺垫，循序渐进过度到Calculus的学习，以便之后能够掌握好这项数学技能，应用到未来其他学科领域中。

希望同学们能够认真学习，高效备考，在取得优秀成绩的同时，培养严谨且熟练的数学思维和能力，尤其是Calculus（微积分）这项数学工具，对于之后大学的专业学习会事半功倍且锦上添花。